Інформаційний паспорт

навчальної теми

«Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

Геометрія

10 клас

За Програмою для загальноосвітніх навчальних закладів

Затверджена наказом Міністерства освіти і науки України «Про надання навчальних програм для 11-річної школи грифа «Затверджено Міністерством освіти і науки України» від 28 жовтня 2010 року. №1021.

Тема №4.

Частина 1

У частині 1 (таблиця 1.1) наведено джерела інформації, за якими учень може самостійно вивчати тему. Для їх вивчення використано перелік підручників, навчальних посібників, які рекомендовані Міністерством освіти і науки України на 2013/2014 навчальний рік. Крім цього до частини включено джерела, рекомендовані для розширення та поглиблення знань з відповідної теми.

Перелік джерел навчальної інформації таблиця 1.1

№з/п Вид Назва Автори Видавництво Рік видан-ня
1. Основні підручники та навчальні посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України
1 Підручник Геометрія, 10 клас Бурда М.І., Тарасенкова Н.А Зодіак – ЕКО, ВД «Освіта» 2010, 2011
2 Підручник Геометрія, 10 клас Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О. Генеза 2010
2. Додаткові підручники та навчальні посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України
3 Посібник Геометрія у таблицях Нелін Є.П. Гімназія 2012
4 Підручник Геометрія (рівень стандарту, академічний рівень) Єршова А.П., Голобородько В.В., Крижановський О.Ф., Єршов С.В. Ранок 2010
5 Посібник Тест-контроль. Алгебра+Геометрія. Поточне, тематичне та річне оцінювання (академічний рівень) За ред. Неліна Є.П., Каплун О.І. Весна 2011
6 Посібник Геометрія (академічний рівень). Комплексний зошит для контролю знань Роганін О.М. Ранок 2010
7 Збірник Геометрія. 10 клас. Збірник самостійних та контрольних робіт. Захарійченко Ю.О., Вашуленко О.П. Ранок 2010
3. Додаткові джерела інформації, рекомендовані автором
8 Посібник С чего начинается решение стереометриче-ской задачи Гольдберг Я.Е. Радянська школа 1990

Поради, щодо опрацювання деяких джерел з таблиці 1.1:

· Для початкового ознайомлення з теоретичним матеріалом скористайся підручниками, зазначеними в пунктах 1 та 2.

· Для узагальнення та перевірки знань із теми перегляньте посібники, зазначені в пунктах 5-6, та збірник, зазначений у пункті 7.

Частина 2

Рекомендації для вивчення теми

2. 1 Загальна характеристика теми

Під час вивчення теми відбувається узагальнення та систематизація знань учнів з планіметрії – розділу, що вивчає взаємне розташування прямих і площин в просторі (розглядається перпендикулярність прямих та площини, двох площин тощо).

Окрім того, учні вивчають теореми про взаємозв’язок паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, а також опановують знання про перпендикуляр та похилі тощо.

Тема є практичною (під час вивчення істотно підвищується роль задач на обчислення) та пропедевтичною (для опанування понять кутів у просторі та багатогранників), а також відіграє помітну роль у формуванні просторових уявлень учнів і розвитку конструктивності їхнього мислення.

У таблиці 2.1 подано витяг з навчальної програми щодо змісту

навчального матеріалу з теми та вимог до навчальних досягнень учнів із

їх засвоєння.

Таблиця 2.1

Зміст навчального матеріалу Навчальні досягнення учнів
Тема №4 «Перпендикулярність прямих і площин у просторі» Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин. Кути у просторі: між прямими , між прямою і площиною, між площинами. Відстані у просторі: від точки до прямої, від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини (від точки до фігури), між паралельними площинами, між мимобіжними площинами, (між двома фігурами). Ортогональне проектування. (Площа ортогональної проекції многокутника). Практичне застосування властивостей паралельності та перпендикулярності прямих і площин. Учень (учениця): · формулює означення перпендикулярних прямих у просторі, прямої, перпендикулярної до площини, перпендикулярних площин; властивості та ознаки перпендикулярних прямих і площин; · обгрунтовує взаємозв язок паралельності й перпендикулярності прямих і площин у просторі; · встановлює взаємне розміщення прямих і площин у просторі; · застосовує вивчені властивості та ознаки до розв язування задач; · обчислює відстані й кути в просторі; · застосовує відношення між прямими і площинами у просторі, вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об єктів оточуючого світу.

2.2 Поради щодо вивчення теми

Зверніть особливу увагу на ознаки перпендикулярності прямої та площини, теорему про три перпендикуляри та ознаку перпендикулярності площин. Доведення ознаки перпендикулярності прямої та площини спирається на логічні й геометричні зв язки та відношення між планіметричними фігурами, розташованими у тривимірному просторі.

Не забувайте , що під час вивчення теореми про три перпендикуляри необхідно довести і першу, і другу частини теореми, а також розібрати її на малюнках, якщо в основі лежить прямокутний, рівнобедрений та довільний трикутники.

Зверніть увагу на використання теореми Піфагора і насідків з неї в ході розв язування задач на похилу.

2.3 Словник до теми

Визначення основних понять, які зустрічаються в процесі вивчення теми, подано за виданням:

Геометрія. 10клас : академічний рівень /М.І. Бурда, Н.А.Тарасенкова. – К.: «Зодіак-ЕКО», 2010. (Додаток 2.1).

2.4 Інформація для запам`ятовування.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні.

Через будь-яку точку прямої в просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих. (Усі прямі лежать у площині, яка перпендикулярна до даної прямої та перетинає її у даній точці.)

Через будь-яку точку в просторі, що не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну. Це буде та перпендикулярна до даної прямої пряма, яка лежить у площині, визначеній даними прямою й точкою.

Зверніть увагу, що в просторі дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, необов язково паралельні між собою.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендику-

лярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендику-лярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

На рисунку a перпендикулярна до площини, але aне перпендикулярна до d , зокрема не перпендикулярна до c .

Через дану точку площини можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї пряму.

Через дану точку прямої можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї площину.

Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести одну, й тільки одну, площину, перпендикулярну до даної прямої.

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї ж площини, паралельні.

Частина 3

Додаткові навчальні матеріали

Для вивчення теми рекомендовано використати додаткові навчальні матеріали. Їх подано, як додатки, перелічено в таблиці 3.1 і розміщено на ком пакт-диску.

Номер додатка Назва додатка
Додаток 3.1 Двогранний кут (презентація у форматі Mikrosoft Office Power Point)
Додаток 3.2 Опорний конспект з теми (презентація у форматі Mikrosoft Office Power Point)
Додаток 3.3 Опорний конспект уроку узагальнення та систематизації знань з теми (презентація у форматі Mikrosoft Office Power Point)
Додаток 3.4 Відеопрезентація з теми (у форматі Movie Maker)

Частина 4

Самоперевірка знань

Для самоперевірки набутих учнем знань наведено контрольну роботу. (Додаток 4.1)

Частина 5

Творчі роботи

Для поглибленого вивчення теми пропонується підготувати такі реферати:

1. Перпендикулярність прямих і площин у архітектурі.

2. Застосування прямих і площин у народній творчості (ковані вироби, дерев яне начиння та прикраси).

3. Застосування перпендикулярних прямих та площин у ювелірному виробництві та медицині (оброблення ювелірних виробів, напівдорогоцінних та дорогоцінних каменів).

4. Застосування перпендикулярності прямих та площин у техніці.

5. Застосування перпендикулярності прямих та площин у деревообробній та металургійній промисловості.

Частина 6

Джерела методичної інформації

У таблиці 6.1 наведено джерела інформації методичного характеру, визначені та рекомендовані для використання вчителем у висвітленні теми.

(Таблиця 6.1)

Перелік методичної літератури

№з/п Вид Назва Автори Видавництво Рік видання
1. Джерела інформації, рекомендовані автором
1 Посібник Майстер-клас. Геометрія. 10 клас (академічний рівень) Корнієнко Т.А., Фіготіна В.І. Ранок 2010
2 Посібник Геометрія. 10 кас (академічний рівень) Старова О.О. Основа 2010
3 Комплект Геометрія. 10 клас Бурда М.І., Вашуленко О.П. ТМ «Розумники» 2011

Частина 7

Додаткові методичні матеріали

У таблиці 7.1 запропоновано додаткові методичні матеріали, які можуть бути використані у навчальній роботі. Їх розміщено у формі додатків до частини 7.

Номер додатку Назва додатку
Додаток 7.1 Методичні картки уроків

(Додаток 2.1).

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщовона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину.

Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини).

Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

Теорема (властивості перпендикуляра і похилої).

Якщо з точки, взятої поза площиною, проведені до площини перпендикуляр і похилі, то:

1) перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;

2) проекції рівних похилих рівні і, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, рівні;

3) з двох похилих більша та, проекція якої більша.

Теорема (про три перпендикуляри).

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої.

Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри).

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Теорема (про паралельні прямі та перпендикулярну площину).

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Теорема (про паралельні площини та перпендикулярну пряму).

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Кутом між площинами , які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах зі спільної точки перпендикулярно до лінії їх перетину.

Дві площини називаються перпендикулярними , якщо кут між ними дорівнює 90о.

Теорема (ознака перпендикулярності площин).

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теорема (властивість перпендикулярних площин).

Якщо дві площини перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

Якщо пряма l перпендикулярна до площини a , то таке проектування називають ортогональним або прямокутним.

Теорема (про площу ортогональної проекції многокутника).

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Кiлькiсть переглядiв: 99